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By Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.

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Da die L¨ange der Intervalle gegen null konvergiert, gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein N ∈ N, so dass diam(In ) < ε f¨ur alle n Sind n, m folgt N. d. Nach dem Vollst¨andigkeits-Axiom konvergiert die Folge (an ) gegen einen Punkt x ∈ R. Da ak an bn bk f¨ur alle n k, folgt aus §4, Corollar zu Satz 5, dass ak x bk . Das heißt, dass der Grenzwert x in allen Intervallen Ik enthalten ist. Da die L¨ange der Intervalle gegen null konvergiert, kann es nicht mehr als einen solchen Punkt geben. Damit ist Satz 2 bewiesen.

Die L¨ange (oder der Durchmesser) des Intervalls wird durch diam([a, b]) := b − a definiert. Damit k¨onnen wir formulieren: Intervallschachtelungs-Prinzip. Sei I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ . . ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ . . eine absteigende Folge von abgeschlossenen Intervallen in R mit lim diam(In ) = 0 . n→∞ § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom 45 Dann gibt es genau eine reelle Zahl x mit x ∈ In f¨ur alle n ∈ N. 1. ” Wir zeigen nun in zwei Schritten die Gleichwertigkeit des Vollst¨andigkeitsAxioms mit dem Intervallschachtelungs-Prinzip.

Falls aber x + y ∈ R64 , setze man x y := ♦. Dabei sei ♦ ein nicht zu R geh¨origes Symbol, das als undefiniert“ gelesen werde. ) a) Man zeige: F¨ur alle x, y ∈ Q64 gilt (i) x y=y x, (ii) x 0 = x, (iii) x −x = 0. b) Man zeige durch Angabe von Gegenbeispielen, dass das Assoziativ-Gesetz (x y) z=x (y z) in Q64 im Allgemeinen falsch ist, selbst wenn beide Seiten definiert sind. Man gebe auch ein Beispiel von Zahlen x, y, z ∈ Q64 an, so dass x y, (x y) z und y z alle zu Q64 geh¨oren, aber x (y z) = ♦.

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